플래시 보안 설정/전역 저장소 설정을 변경했을 경우 그렇습니다.
전역 저장소가 허용이 되어야 채팅방이 작동합니다. (변경하지 않았다면 기본적으로 허용되어 있습니다.)
http://www.macromedia.com/support/documentation/en/flashplayer/help/settings_manager03.html 에서 조절 가능합니다.

2.
플래시 설치가 swf 파일로 직접 연결할 경우 볼 수 없게 설정된 컴퓨터가 종종 있습니다.
그럴 경우 HTML로 삽입하지 않고 직접 http://www.gagalive.kr/livechat1.swf?chatroom=내챗방 형태로 직접 링크를 통해 들어가는 경우 채팅방이 표시되지 않을 수 있습니다.

그렇게 직접 링크해서 사용하지 않을 것을 권장하며,
http://go.gagalive.kr/d/채팅방이름보안채팅방의 경우@포함)
형태로 이용하실 수 있습니다. (관리가 가능하게 http://www.gagalive.kr/live/livechatadmin 에서 보안 채팅방을 만들어서 사용할 것을 강력히 권장합니다.)

직접 swf 을 통해 접속하고 싶다면

http://www.adobe.com/products/flashplayer/ 에 가셔서 플래시를 설치 확인 후에
도구 -> 인터넷 옵션 -> 고급 -> 보안 -> [내 컴퓨터]에 있는 파일에서 액티브 콘텐츠가 실행되는 것을 허용 을 끄시면 해결이 될 것입니다.

3. 플래시 자체가 아예 설치 안된 새 컴퓨터의 경우 채팅방이 나오지 않을 수 있습니다.
http://www.adobe.com/products/flashplayer/ 에 가셔서 플래시를 설치하시길 바랍니다.

좋은 하루 되시길 바랍니다.